Göllmann et al.

• Mathematik für Ingenieure; Verstehen-Rechnen-Anwenden Band I: Vorkurs, Analysis in einer Variablen, Lineare Algebra, Statistik; Springer Verlag, Berlin (2017); ISBN 978-3-662-53866-1 ISBN 978-662-53867-8 (eBook); DOI 10.1007/978-3-662-53867-8
• Gliederung
• Grundlagen S.3
  • 1 Mengen, Zahlen und Gleichungen - Das Handwerkszeug der Mathematik ...3
  • 2 Funktionen ... 35
  • 3 Komplexe Zahlen ...69
    • 3.1 Grundbegriffe und kartesische Form ...70
    • 3.2 Rechnen mit komplexen Zahlen in der kartesischen Form ...71
      • Die durch Spiegelung der komplexen Zahl $z=a+bi$ an der x-Achse erzeugte Zahl $\overline{z}=a-bi$ nennt man konjugiert komplex., manchmal auch mit $z^{*}$ bezeichnet.
      • Für Addition und Subtraktion von $z_1; z_2$ gelten die Regeln→$$z_{1} \pm z_{2}= (a_{1}\pm a_{2})+ (b_{1}\pm b_{2})i$$
      • Gegeben sind die komplexen Zahlen $z_{1}= -1-8i$ und $z_{2}= -2-3i$. Bilde die Summe, die Differenz und die konjugiert komplexen Zahlen der Ausgangszahlen.→$z_{1}+z_{2} =-3-11i;$ $z_{1}-z_{2} =1-5i$; $\overline{z_{1}}=(-1+8i)$; $\overline{z_{2}}=(-2+3i)$
      • Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen $z_{1}* z_{2} $ ergibt sich durch Ausmultiplizieren der Klammern und Einsetzen :→$z_{1}*z_{2} = (a_{1}+b_{1}i) *(a_{2}+b_{2}i) = (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})$; $z_{1}*z_{2} = (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+ (a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})i;$
      • Gegeben sind die komplexen Zahlen $z_{1}= -1-8i$ und $z_{2}= -2-3i$.
      • Bilde das Produkt $z_{1}* z_{2} $→$z_{1}* z_{2} = ((-1)*(-2)-(-8)*(-3))+ ((-1)*(-3)-(-2)*(-8))i; (2-24) +8-3-16)i = -22+19i$
      • Bilde das Quadrat von $z_{1}^{2}$→nach der binomischen Formel $(a+b)^{2}= a^{2}+b^{2}+2*a*b$$z_{1}^{2}= (-1-8i)^{2}= 1+64i^{^2}+2*(-1*-8)i=-63+16i$
      • Bilde das Produkt aus der komplexen Zahl $z_{1} $ und der konjugiert komplexen Zahl $\overline{z_{1}} ; z_{1} *\overline{z_{1}}$→Der Betrag einer komplexen Zahl $z$ ist nach Pythagoras $\left| z \right| =\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ und gleich dem Produkt von $z_{1} *\overline{z_{1}}$ . $z_{1}*\overline{z_{1}}= (-1-8i)^{2}= 1-64i^{^2} = 65$
      • Bei der Division zweier komplexer Zahlen $\frac{z_{1}}{z_{2}}$steht im Nenner eine komplexe Zahl. Diese muss zu einer reellen Zahl gemacht werden, indem man den Bruch mit der komplex konjugierten Zahl des Nenners erweitert. Die Rechenregeln sind die allgemeinen des Rechnens mit Klammerausdrücken. $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{(a_{1}+b_{1}i)}{(a_{2}+b_{2}i)}$ $=\frac{z_{1}*\overline{z_{2}}}{z_{2}*\overline{z_{2}}}= \frac{(a_{1}+b_{1}i)*(a_{2}-b_{2}i)}{(a_{2}+b_{2}i)*(a_{2}-b_{2}i)}$ $^{= \frac{(a_{1}+b_{1}i)*(a_{2}-b_{2}i)}{(a_{2}^{2}+b_{2}^{2})}}$ ${= \frac{(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})+ (a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})i}{(a_{2}^{2}+b_{2}^{2})}}$
      • Gegeben sind die komplexen Zahlen $z_{1}= -1-8i$ und $z_{2}= -2-3i$. Bilde den Quotienten von $\frac{z_{1}}{z_{2}}$→$\frac{z_{1}}{z_{2}}= \frac{.1-8i}{-2-3i}$ $\frac{z_{1}}{z_{2}}= \frac{-1-8i}{-2-3i}*\frac{-2+3i}{-2+3i}$ $= \frac{2-3i+16i-24i^{2}}{4-9i^{2}}=\frac{26+13i}{13} =2+i$
      • Löse die Gleichung $\frac{1}{z}= \frac{2}{3+2i}+\frac{1}{4-3i}$ .→auf eine Bruchstrich schreiben: $\frac{1}{z}= \frac{2*(4-3i)+1*(3+2i)}{(3+2i)*{(4-3i)}}$ dann ist: $\frac{1}{z}= \frac{8-61+3+2i}{12-9i+8i-6i^{2}} = \frac{11-4i}{18-i}$ und $z=\frac{18-i}{11-4i}*\frac{11+4i}{11+4i} = \frac{198+4+61i}{121+16}=\frac{202}{137}+\frac{61}{137}i$
      • quadratische Gleichungen der Form $z^{2} + p*z +q=0$ löst man wie quadratische Gleichungen mit reellen Zahlen mit der p-q-Formel. $z_{1,2}=\frac{-p\pm \sqrt{p^{2}-4q}}{2}$. Dabei ist zu beachten, dass die Wurzel die komplexe Zahl p enthält.
      • Löse die komplexe Gleichung $z^{2} + (-1+i)z +q; $→$z_{1,2}=\frac{-(1+i) \pm \sqrt{(-1+i)^{2}+4i}}{2}$ ; $z_{1,2}=\frac{(1-i)+\sqrt{2i}}{2}$ ; Berechnung der quadratischen Wurzeln von $\sqrt{2i}$: $2i=2*(\cos{90°} + i\sin{90°})$; $\sqrt{2i}= \sqrt{2}\cdot (\cos45° +i\sin45°)$, $=\sqrt{2}(\frac{1}{2} \sqrt{2} + i\frac{1}{2} \sqrt{2})=\pm(1+i)$ Eingesetzt in die Lösungsformel $z_{1}= \frac{1-1+1+i}{2}=1$ und $z_{2}= \frac{1-i-1-i}{2}=i$ Es gilt auch hier der Satz von Vieta: $-p=(z_{1}+z_{2})$ und $q=z_{1}*z_{2}$
    • 3.3 Die Polarform komplexer Zahlen ...74
      • Unter der Polarform der komplexen Zahle versteht man die Positionsangabe und der Gaußschen Zahlenebene mittels der Strecke vom Ursprung des Koordinatensystem und dem Winkel der Strecke mit der positiven Achse der reellen Zahlen.
      • In der Polarform gestalten sich die Multiplikation, Division und das Potenzieren einfach. Die Polarform lautet: $z= r\cdot(\cos\varphi+i\sin\varphi)$
        • Für die Multiplikation von $z_1$ und $z_2$ ergibt sich→$z_1*z_2 = r_1\cdot r_2\cdot(\cos{(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2))}$
        • Für die Division von $z_1$ durch $z_2$ ergibt sich→$z_1/z_2 = \frac{r_1}{r_2}(\cos{(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2))}$
        • Für das Potenzieren $z^{n}$ ergibt sich→$z_1^{n}=r_1^{n}\cdot(\cos{(n\cdot\varphi_1)+i\sin(n\cdot \varphi_1)}$
    • 3.4 Die Exponentialform komplexer Zahlen ...77
      • Die Polarform entspricht der Exponentialform mit der Eulerschen Zahl. Es gilt $re^{i\varphi}= $ $r\cdot(\cos\varphi+i\sin\varphi)$.
    • 3.5 Schwingungen, Zeiger und komplexe Zahlen ...80
    • 3.6 Polynome und algebraischen Gleichungen ...82
    • Aufgaben ...86
• II Analysis in einer Variablen S.91
• III Lineare Algebra S.199
• IV Statistik S.395
• Anhang A: Tabellen S.47
• Anhang B: Lösungen S.489
• Abbildungsnachweis S.523
• Sachverzeichnis S.525